Email: r.f.daceri-artist@centainesdestyles.nl

Thema: RFD WISKUNDE FRACTALS

Introductie van het begrip fractals

Een fractal is een meetkundige figuur opgebouwd uit delen die min of meer gelijkvormig zijn met de figuur zelf. Fractals kunnen gegenereerd worden door
het herhaald toepassen van een bepaalde bewerking. De term fractal is afgeleid van het Latijnse ‘fractus’ (= gebroken) en in 1975 geïntroduceerd door Benoît Mandelbrot.
Wiskundige objecten met fractale eigenschappen werden eind 19e en begin 20e eeuw ontdekt door wiskundigen als Karl Weierstrass, Helge von Koch, Georg Cantor,
Henri Poincaré en Gaston Julia. De fractalmeetkunde is de tak van wiskunde die zich bezighoudt met de eigenschappen van fractals.
Het is een aanvulling op de klassieke meetkunde, met toepassingen in wetenschap, technologie en computerkunst.
De fractale wiskunde heeft in de jaren 1980 - 1990 een te grote populariteit onder wetenschappers gekend.
Men meende overal en in alles fractals te onderkennen en deze wiskunde werd te pas en te onpas toegepast; zo zeer zelfs dat anno 2004 fractals een beetje in diskrediet zijn in de wetenschap.
Dit is des te merkwaardiger omdat een fractal net als een bol of een driehoek een wiskundig begrip is dat noch waar noch onwaar is, maar gewoon bij definitie geschapen.
Toch zijn er diverse toepassingen niet meer weg te denken. De beschrijving van chaos bijvoorbeeld is ondenkbaar zonder de achtergrond van fractals.

Viertal voorbeelden met R-Shiny

In de applicatie ziet u vier visualisaties, waarvan aan de linkerzijde de opbouwende fase en aan de rechterzijde het eindresultaat van het algoritme:

1. TREE model
De H-boom is een fractale boomstructuur die is opgebouwd uit loodrechte lijnsegmenten, elk kleiner met een factor van de vierkantswortel van 2 van het volgende grotere aangrenzende segment.
Het wordt zo genoemd omdat het zich herhalende patroon lijkt op de letter "H".

2. Koch model
De Koch-sneeuwvlok kan iteratief worden opgebouwd, in een opeenvolging van fasen. De eerste fase is een gelijkzijdige driehoek en elke opeenvolgende fase wordt gevormd
door naar buiten gebogen te voegen aan elke kant van de vorige fase, waardoor kleinere gelijkzijdige driehoeken ontstaan.
De Koch-sneeuwvlok is geconstrueerd als een voorbeeld van een continue curve waarbij het onmogelijk is om een raaklijn naar een punt te trekken.

3. Julia model
In de complexe dynamiek is de Julia-set gedefinieerd vanuit een functie. De Julia-verzameling bestaat uit waarden zodanig dat een willekeurig kleine verstoring drastische veranderingen
kan veroorzaken in de volgorde van herhaalde functiewaarden. Het gedrag van de functie op de Julia-verzameling is "chaotisch".

4. Mandelbrot model
De Mandelbrotverzameling is een fractal dat een belangrijke rol speelt in de chaostheorie. Buiten de chaostheorie staat de mandelbrotverzameling vooral bekend
om zijn esthetische eigenschappen, en is daarom vaak het onderwerp van recreatieve wiskunde en inleidende cursussen in fractals.
De Mandelbrotverzameling is een verzameling van complexe getallen en ontstaat door herhaaldelijk op de complexe getallen een bepaalde wiskundige bewerking uit te voeren.
Deze verzameling wordt dus aan de hand van een differentievergelijking bepaald.