Het begrip algebra
Algebra, een belangrijke tak van de wiskunde, is een taal die ons helpt de wereld om ons heen te begrijpen. Het komt van een Arabisch woord dat herstel of voltooiing betekent.
De "vader van de algebra" is Musa al-Khwarizmi, een Perzische wiskundige uit de 9e eeuw. Hij wordt gecrediteerd voor de ontwikkeling van algebra als wiskundige discipline en het schrijven
van een fundamenteel boek over dit onderwerp, getiteld Kitab al-Jabr wa al-Muqabalah. De term is afgeleid van de titel van zijn boek, al-Jabr. In zijn boek gaat het over het voor iedereen bekende elementaire algebra.
Toch gaat het in de algebra niet alleen om getallen, maar ook om abstracte ideeën die toepasbaar zijn op veel gebieden, zoals economie, natuurkunde en zelfs de fundamentele structuur van het universum.
Algebra is onderverdeeld in verschillende deelgebieden, zoals elementaire algebra, geavanceerde algebra, abstracte algebra, lineaire algebra en commutatieve algebra.
Grafieken
Een grafische illustratie van vier soorten functies met specifieke kenmerken, automatisch random samengesteld door de computer.
Deze illustratie geeft een kleine impressie van diverse mathematische mogelijkheden.
Breuken
In de applicatie ziet u random aangemaakte voorbeelden met het vereenvoudigen van breuken en letters. Deze geven inzicht dat het optellen of aftrekken met getallen en letters nauwelijks iets van elkaar verschilt.
Gelijknamige breuken behandelen we als normale getallen. De ongelijknamige breuken maken we eerst gelijknamig.
Machten
Machtsverheffen is herhaald vermenigvuldigen. 3² = 3.3 => 9, spreek uit als '3 tot de macht 2', men noemt 3 het grondtal en 2 de exponent. Functies als y = x² heten machtsfuncties; het grondtal is variabel en de exponent is constant.
Bij het vermenigvuldigen van machten worden de exponenten opgeteld, bij machtsverheffing worden de exponenten vermenigvuldigd.
Eigenschappen met positieve gehele exponenten:
1. a².a².a² = (a.a).(a.a).(a.a) worden de exponenten opgeteld en zegt men als antwoord 'a tot de macht 6'
2. (b²)² = b².b² worden de exponenten vermenigvuldigd en zegt men als antwoord 'b tot de macht 4'
3. (ab)² = a².b² zegt men als antwoord 'a tot de macht 2 maal b tot macht 2'
Eigenschappen met negatieve gehele exponenten:
1. a-² = 1/a²
2. a tot de macht 0 = 1
3. a-² / a-² = a tot de macht 0 = 1
Fractals
Introductie van het begrip fractals
Een fractal is een meetkundige figuur opgebouwd uit delen die min of meer gelijkvormig zijn met de figuur zelf. Fractals kunnen gegenereerd worden door
het herhaald toepassen van een bepaalde bewerking. De term fractal is afgeleid van het Latijnse ‘fractus’ (= gebroken) en in 1975 geïntroduceerd door Benoît Mandelbrot.
Wiskundige objecten met fractale eigenschappen werden eind 19e en begin 20e eeuw ontdekt door wiskundigen als Karl Weierstrass, Helge von Koch, Georg Cantor,
Henri Poincaré en Gaston Julia. De fractalmeetkunde is de tak van wiskunde die zich bezighoudt met de eigenschappen van fractals.
Het is een aanvulling op de klassieke meetkunde, met toepassingen in wetenschap, technologie en computerkunst.
De fractale wiskunde heeft in de jaren 1980 - 1990 een te grote populariteit onder wetenschappers gekend.
Men meende overal en in alles fractals te onderkennen en deze wiskunde werd te pas en te onpas toegepast; zo zeer zelfs dat anno 2004 fractals een beetje in diskrediet zijn in de wetenschap.
Dit is des te merkwaardiger omdat een fractal net als een bol of een driehoek een wiskundig begrip is dat noch waar noch onwaar is, maar gewoon bij definitie geschapen.
Toch zijn er diverse toepassingen niet meer weg te denken. De beschrijving van chaos bijvoorbeeld is ondenkbaar zonder de achtergrond van fractals.
Vijftal voorbeelden met R-Shiny
In de applicatie ziet u vijf visualisaties, waarvan aan de linkerzijde de opbouwende fase en aan de rechterzijde het eindresultaat van het algoritme:
1. TREE model
De H-boom is een fractale boomstructuur die is opgebouwd uit loodrechte lijnsegmenten, elk kleiner met een factor van de vierkantswortel van 2 van het volgende grotere aangrenzende segment.
Het wordt zo genoemd omdat het zich herhalende patroon lijkt op de letter "H".
2. Koch model
De Koch-sneeuwvlok kan iteratief worden opgebouwd, in een opeenvolging van fasen. De eerste fase is een gelijkzijdige driehoek en elke opeenvolgende fase wordt gevormd
door naar buiten gebogen te voegen aan elke kant van de vorige fase, waardoor kleinere gelijkzijdige driehoeken ontstaan.
De Koch-sneeuwvlok is geconstrueerd als een voorbeeld van een continue curve waarbij het onmogelijk is om een raaklijn naar een punt te trekken.
3. Julia model
In de complexe dynamiek is de Julia-set gedefinieerd vanuit een functie. De Julia-verzameling bestaat uit waarden zodanig dat een willekeurig kleine verstoring drastische veranderingen
kan veroorzaken in de volgorde van herhaalde functiewaarden. Het gedrag van de functie op de Julia-verzameling is "chaotisch".
4. Mandelbrot model
De Mandelbrotverzameling is een fractal dat een belangrijke rol speelt in de chaostheorie. Buiten de chaostheorie staat de mandelbrotverzameling vooral bekend
om zijn esthetische eigenschappen, en is daarom vaak het onderwerp van recreatieve wiskunde en inleidende cursussen in fractals.
De Mandelbrotverzameling is een verzameling van complexe getallen en ontstaat door herhaaldelijk op de complexe getallen een bepaalde wiskundige bewerking uit te voeren.
Deze verzameling wordt dus aan de hand van een differentievergelijking bepaald.
5. Sierpinski model
W.Sierpinski (14 maart 1882 - 21 oktober 1969) was een Pools wiskundige. Hij vond een kromme die een voorloper is van de fractaal. De Sierpinski-kromme heeft een oneindige lengte en neemt
toch een eindige oppervlakte in. De driehoek van Sierpinski en het tapijt van Sierpinski (ook wel: vierkant van Sierpinski) hebben dan weer nul oppervlakte en een oneindige lengte van mazen.